應確定流體域的邊界條件，以便它們代表實際情況。在本研究中，研究對象是25 °C不可壓縮的水在旋轉葉輪內流動。表示某一特定區域中流體流動的方程必須具有數值約束，從而定義邊界條件。對于計算域的入口部分，將靜壓設置為入口條件。選取質量流量作為出口的邊界條件。在流場中，有兩個界面：（1）入口管道和葉輪吸入孔之間；（2）葉輪出口和蝸殼之間。因此，通過改變出口流量和蓋板直徑，對離心泵在不同工況下的流場進行模擬。上述邊界條件是由Caridad等人提出的（2008年）。所有旋轉部件以1475 rpm的公稱速度旋轉，而其它殼壁保持靜止。

壁面被認為是光滑的，并應用了防滑條件，這意味著沒有考慮壁面的粗糙度。將旋轉部件和靜止部件之間的界面設置為混合平面進行穩態分析，并將其與實驗和非穩態諧波平衡結果進行比較。一些穩態方法（例如凍結轉子和混合平面模型）簡化了泵內的自然周期流，因此，Navier–Stokes方程的時間導數項可以忽略不計。為了評估入口湍流量對解決方案的影響，湍流強度在5%到10%之間變化（Najafi等人，2005年）。解決方案沒有出現顯著的變化（預測揚程變化小于0.01%）。在實際情況下，可以認為入口流動是完全湍流的。因此，假設的湍流強度對于數值模擬是合理的。

（a）N_s = 10

（b）N_s = 24

由于幾何形狀的復雜性，在旋轉和靜止部件之間的共享界面上使用了特殊的網格劃分技術，例如面網格尺寸（face sizing）。因此，在一些重要區域附近，如葉片的前緣和后緣以及可能發生流動分離的蝸殼蝸舌部位，應用了網格聚類（圖9）。此外，四面體單元被用于對幾何形狀的所有部分進行網格劃分。通過面尺寸和邊界層生成來修改與實體壁相鄰的單元，以確保可以應用適當的湍流模型。

因此，形成了垂直于葉片壁的邊界層，以確保使用適當的網格尺寸。對于比轉速為10和24的泵，葉輪上的平均Y+值約為5.3和5.7，而實體壁上的最大Y+值分別為43.5和47.5。然后使用重整化群RNG k-ε湍流模型來預測兩種泵在設計和非設計條件下所有情況的湍流波動。通過考慮從數值模擬和RNG k-ε湍流模型中獲得的Y+值，使用可縮放壁面函數來捕獲流動中的粘性亞層（Alemi等人，2015；Bel Hadj Taher等人，2017年）。

為了進行數值分析，本研究使用了基于有限體積法的商用CFD代碼ANSYS CFX 19。平流項采用二階精度高分辨率方案，空間離散化采用二階逆風格式。方程是在移動參考系統中求解的。數值模擬的收斂標準設置為1e–5的最大殘差。

對于定常模擬，考慮了葉輪旋轉并改變了參考系，但整個界面上組件的相對方向是固定的。兩個參考系以這樣的一種方式連接，即在整個計算過程中，它們中的每一個都有一個固定的相對位置。這相當于在一個時間實例中從流場中獲取快照。換句話說，在兩種泵類型中，系統的控制方程在葉輪的旋轉坐標系中求解一次，在蝸殼的靜止坐標系中求解一次。然后，通過混合平面界面功能將旋轉部分和靜止部分的求解方程耦合在一起，并在兩個域之間交換壓力和速度數據。

通過求解具有不同網格單元數的兩種泵的基本幾何形狀的流體流動域，驗證了解與網格單元數的獨立性。同時，選取流體流動特性（泵揚程）作為衡量網格獨立性的指標。

圖10總結了從兩種具有中低比速度（N_s = 10和24）泵的計算網格中得到的數值，這些計算網格具有不同的單元數。可以看出，在N_s = 10和 N_s = 24的泵中，當網格數分別從2,500,000增加到 3,421,000 和從 6,328,736 增加到 13,568,203時，預測揚程的變化分別約為10%和4.5%。因此，所有數值結果都是在N_s = 10和N_s = 24的泵中分別使用3,050,000和10,093,387個單元的網格劃分獲得的。在網格生成過程中，根據軟件指南（CFX 20求解器）對垂直角度、縱橫比和偏斜度等測量質量進行了檢查，使其處于期望范圍內。為了得到穩態解，旋轉葉輪和靜止蝸殼之間的網格單元通過一個界面連接在一起。

對于上述兩種離心泵，數值研究是在BEP流量的50%至150%范圍內進行的。因此，為了驗證數值模擬的可靠性，通過實驗驗證了比轉速為10的泵的原始模型的完整葉輪的結果，以及比轉速為24的泵的完整和切割了蓋板的葉輪的計算結果。隨后，由于低出口流量離心泵中的流體流動特性不均勻，在某些情況下，對每個泵，將穩態數值模擬和實驗獲得的結果與諧波平衡法瞬態求解的結果進行了比較。通過比較，證明了數值解的有效性和實驗裝置的準確性。

使用測量裝置，給出了比轉速為10和24的泵的原始葉輪（沒有切割蓋板的完整葉輪）以及比轉速為24的泵情況II和III（見表2）在不同流量下的泵性能曲線。這些結果的比較如圖11所示，顯示出相對良好的一致性。在圖11（b）（情況I）中，可以看到遠遠大于BEP值的流量存在顯著差異。這可能是由于在比BEP大得多的流量下存在大量的流體摩擦損失，以及在數值分析中消除了表面粗糙度（摩擦損失的大小取決于固體表面的粗糙度和相對于表面的流體速度）。考慮到該泵的幾何形狀（中比轉速，N_s = 24，完整的葉輪蓋板），其它有效因素，如入射損失，可能是導致這一結果的原因。

（a）N_s = 10

（b）N_s = 24

此外，在圖11（a）、（c）和（d）中（分別為情況I、II和III），數值和實驗結果之間的差異在遠低于公稱流量的情況下達到了最大值。這些差異也隨著蓋板切割的增加而增加。

這種情況可以用離心泵旋轉和靜止部件中的流線模式以及由此產生的渦流在低流量下影響壓力測量裝置的原理的方式來解釋。此外，數值模擬中葉輪表面光滑、耐磨環內流動損失的忽略，以及葉輪蓋板切割的誤差概率（±0.3 mm），導致實驗測試和數值模擬下葉片厚度的差異，可能導致實驗結果與數值分析的揚程系數存在差異。

考慮到泵內流動特性的復雜性，以及應用于原始幾何形狀的葉輪蓋板切割（PIST）的特殊方法，本文還使用剪切應力傳輸（SST）k-ω湍流模型進行了數值分析，以捕捉葉片表面附近的小渦流、流動分離和逆壓梯度（Skerlavaj等人，2011）。本研究中使用的所有湍流模型的細節可在附錄2中找到。圖12描述了比轉速為10的泵中BEP的流線。如圖12所示，渦流首先集中在葉片表面的壓力側，然后在葉輪流道中逐漸擴大，大約達到葉片長度的一半左右。

SST=剪切應力傳輸；RNG=重整化群

圖12：整個葉輪處于最佳效率點（N_s=10）時的泵內流線

結合表3中給出的偏差百分比和圖12中給出的流線，為了節省計算費用，采用壁面函數處理的RNG k-ε足夠精確，可用于后續研究的數值水力模擬。

表3：兩種泵型的閉式葉輪在不同流量下的穩態數值解（RNG k-ε和SST k-ω湍流模型）結果的比較

采用凍結轉子和混合平面等穩態方法，分析通過泵的流體流動，可以忽略Navier–Stokes方程中的時間導數項來簡化流型條件。例如，許多重要現象，如葉輪/蝸舌相互作用和尾流/葉片相互作用，都無法通過穩態求解器觀察到。這在低流量時尤其重要，因為在這種情況下可能發生與葉輪葉片的分離。考慮到使用瞬態求解器獲得周期性穩態解的計算成本要高得多，為了利用更快的穩態和更準確的瞬態求解器，使用了諧波平衡方法（Cvijetic & Jasak，2018年；He & Ning，1998年）。由于渦輪機械裝置中的流動具有自然周期性，因此該方法使用包含主頻率（f = 2π/ω）諧波的傅立葉級數來估計場變量。本文還進行了諧波平衡分析，并與不同低流量下的實驗結果進行了比較。非穩態諧波平衡結果如表4所示。該方法的解釋見附錄3。穩態和非穩態數值模擬結果與實驗結果的比較表明，兩者之間沒有太大差異。因此，可以預期穩態模擬對于本研究來說是足夠準確的。

表4：對于N_s=10和24的泵，穩態數值解的結果與現有的實驗和非穩態數值結果的比較

表4中實驗數據的誤差百分比，見最后一列，由式(3)計算：

考慮實驗數據的誤差百分比